Mathematik: Was steckt alles im Satz des Pythagoras?

00:00:00: Einfach unterrichten, der Podcast von Friedrich Plus aus dem Friedrich Verlag. Wir bringen

00:00:10: innovativen Unterricht für Lehrkräfte auf den Punkt. Herzlich willkommen beim Podcast

00:00:16: Friedrich Plus Mathematik vom Friedrich Verlag. In jeder Folge bringen wir den neuesten Stand der

00:00:21: Fachdidaktik in fünf Thesen auf den Punkt und heute geht es um den Satz des Pythagoras und seine

00:00:27: Zugänge. Mein Name ist Christian und ich habe die Ehre mit den Menschen hinter den Unterrichtsideen

00:00:32: des Friedrich Verlags sprechen zu dürfen. Heute ist mein Gast Dr. Marie-Christine von der Bank.

00:00:38: Marie vereint Theorie und Praxis par excellence durch ihre Rolle als Lehrerin für Mathematik

00:00:44: und Geschichte und als Forscherin für Mathematik-Didaktik an der Uni des Saarlandes. Außerdem ist

00:00:50: sie Herausgeberin beim Friedrich Verlag und hat gerade bei Mathematik-Lehren eine Ausgabe zum Thema

00:00:55: Pythagoras vielfältig erleben veröffentlicht. Wir sprechen also heute darüber, was es bei dem

00:01:01: Unterrichten von Satz des Pythagoras so zu beachten gilt. Marie, schön, dass du da bist. Da du ja

00:01:07: auch Geschichte unterrichtest, bieten sich da so viele mögliche Einstiege in dieses Gespräch an

00:01:13: und eine, mit der ich hier vorab starten möchte, liebe Marie, ist die Historie zu Pythagoras.

00:01:20: Weil was mich total fasziniert hat in unserem Vorgespräch, war dieser kleine Satz, Pythagoras

00:01:25: hatte kein A-Quadrat plus B-Quadrat, gleich C-Quadrat und da ist es mir, wie sagt man,

00:01:29: wie Schuppen von den Augen gefallen, dass er stimmt. Das war ja damals noch gar nicht da und der hatte

00:01:36: die Buchstaben auch nicht, weil er halt Grieche war und der Einstieg, die Einlage hier, wie hat

00:01:42: er denn damals Pythagoras gedacht? Ja, ist ein ganz spannender Aspekt, der glaube ich auch vielen so

00:01:50: gar nicht bewusst ist, dass wir heute eine Mathematik aufschreiben können und sprechen können, die

00:01:55: den antiken Mathematikern ja völlig fremd war. Unsere formal algebraische Schreibweise, das Pluszeichen,

00:02:03: beispielsweise ist mal gerade 500 Jahre alt, von der Potenz Schreibweise, die in der Gleichung,

00:02:08: die du uns gerade genannt hast, schreck ganz zu schweigen. Das heißt, Mathematik wurde früher

00:02:13: anders gemacht oder in einer anderen Spielart, die wir heute auch noch kennen und die auch im

00:02:19: Unterricht noch Platz haben sollte, beispielsweise konstruktiv geometrisch. Da sind wir gerade bei

00:02:24: den Bildern wieder, wenn du deine Gleichung, die Quadrate, die du darin hast, tatsächlich als

00:02:30: Quadrate, nämlich als geometrische Form eines Quadrats siehst und die noch passend um ein

00:02:35: rechtfängliches Dreieckrum an den Katheten und an der Hygotenuse platziert, dann hast du nämlich

00:02:40: die Pythagoras-Figur. Das ist eine Aussage über die Flächenkleichheit der Kathetenquadrate und

00:02:46: des Hygotenusenquadrats. Und so kann Pythagoras auch schon Pythagoras gemacht haben. Habt ihr in

00:02:53: eurem Artikel auch einen sehr schönen Zweiteiler eigentlich nur fallen lassen, nämlich jeder

00:02:58: Mensch denkt Mathematik anders. Und gerade bei dem Thema Geometrie, was wir eigentlich was

00:03:04: visuelles ist und jetzt sprechen wir hier in der Podcastfolge, wie denkt man denn Mathematik oder

00:03:10: wie denkst du Pythagoras innerlich, wenn du darüber sprichst, also anders wie repräsentierst

00:03:15: du dieses Konzept Pythagoras? Ich bin natürlich wie alle meine Kolleginnen und Kollegen als Lehrperson

00:03:21: darauf getrimmt, verschiedene Sprachformen von Mathematik zu sprechen. Wir haben gerade

00:03:26: über die Konstruktiv-Geometrische gesprochen, nämlich über das Pythagoras-Bild, das auch bei

00:03:29: mir sofort, ich nenne das immer Mathematik, das Kopfkino, so aufploppt. Das geht natürlich mit

00:03:34: oder ohne Koordinatisierung. Natürlich ist es auch die formal allibrage Sprache, diese

00:03:40: Gleichung, die ich habe, die aber bei mir eher an den Quadraten, an den Seitenlängen dann

00:03:47: vielleicht sogar als A, B und C dran steht. Und als übersetzende Sprachform dazwischen

00:03:55: dieses Verwahl Begriffliche, was wir beide jetzt auch gerade machen, um über die Bilder zu sprechen,

00:03:59: kann ich ja auch einfach sagen, für ein rechtfinkliges Dreieck habe ich genau diese Beziehung,

00:04:05: diese Flächenkleichheit zwischen den Katheten Quadraten und den Hukutinusen Quadrat. Du hast

00:04:09: gerade gesagt, unterschiedliche Menschen denken Mathematik unterschiedlich, sie haben unterschiedliche

00:04:13: Zugänge und je nachdem, wie ich meinen Zugang wähle, habe ich natürlich auch eine ganz andere

00:04:18: Sichtweise und daraus ergeben sich auch unterschiedliche Interessen auf den Satz des Pythagoras zu

00:04:22: schauen. Schaue ich eher geometrisch, dann ist der Pythagoras für mich nicht nur eine Aussage

00:04:28: über Flächen, die ich treffen kann, sondern auch das Universalmittel um Abstände zu bestimmen.

00:04:33: Mag das in der Ebene sein? Mag das im Raum sein? Denn auch den Pythagoras kann ich in den Raum

00:04:38: tragen. Spiralkurikular sind wir dann mit dem Skalaprodukt, beispielsweise in der Uberschlufe

00:04:43: drin. Ich kann aber natürlich auch den Satz des Pythagoras arithmetisch interpretieren,

00:04:48: über die Pythagorischen Trippel, über Zahlen-Tippel, die mir besondere Eigenschaften erfüllen und dann

00:04:53: bin ich beispielsweise, jetzt denken wir, spiralkurikular nochmal runter bei den Figurierungen, bei

00:04:58: figurierten Zahlen, in Klassensstufe 5, 6. Jetzt muss ich gestehen, mein Matheunterricht war durchwachsen,

00:05:04: ich hatte eine wirklich tolle Lehrerin, aber nur für ein halbes Jahr und dann plätscherte der

00:05:12: Rest eher so dahin. In Physik und Chemie, ich bin ja Chemie und Physiklehre ursprünglich,

00:05:16: war das anders. Da hatte ich fantastische Lehre und da ist sehr viel Hängen geblieben und bei Pythagoras

00:05:22: muss ich wirklich gestehen, ich kann mich nur an A Quadrat plus B Quadrat gleich C Quadrat erinnern,

00:05:26: da ist nichts wirklich signifikantes Hängen geblieben. Jetzt ist aber der Punkt genau der,

00:05:30: dass du dafür plädiest, diese Euphorie und Freude beim Entdecken wieder zu fördern,

00:05:35: weil das Mathematiker von sich auch behaupten, dass sie das machen, weil sie Spaß dran haben

00:05:39: und gleichzeitig dieser Gedanke aber auch so ein bisschen deine Botschaft ist, wenn du Erstsemester

00:05:46: unterrichtest, warum macht ihr denn Mathe? Und jetzt, wir haben eine Frage dazu, wie kann man denn das

00:05:52: machen, dass Pythagoras spannend und interessant ist und jetzt stell dir vor, du müsstest mir jetzt

00:05:57: diese alten Wunden heilen, die ich durch meine Mathelehrer quasi noch mittrage. Ja, also zunächst

00:06:02: mal hört man ja bei dir sehr gut raus, dass du ja deine Fächerwahl hinterher auch getroffen hast

00:06:07: aufgrund von Persönlichkeit mit denen du zusammen warst im Unterricht, du hast ja gerade ganz

00:06:11: begeistert, man hört das ja auch in deiner Stimme gesagt, ja in Physik und Chemie, da hatte ich

00:06:15: Lehrerinnen und Lehrer, die wirklich was in mir bewegt haben und ich glaube, es ist ein ganz

00:06:19: großer Appell an uns Lehrpersonen, wir machen einen Unterschied und das ist eine riesige Chance,

00:06:24: die wir haben. Wir sind Mathelehrer, weil wir uns das ausgewählt haben. Ich finde das immer ja so

00:06:31: eine ganz große Chance, wenn ich Erstsemester habe oder auch meine Abiturientinnen aus den

00:06:35: Zwölferkursen raus und ich sage, ihr habt bald das Abitur in der Tasche und damit steht euch die

00:06:40: Welt offen, ihr dürft jetzt wirklich frei wählen, was ihr mit eurem Leben machen wollt und da sollte

00:06:44: man eine gut Begründung haben, um die nächsten 30, 35 Jahre in einen Job zu gehen, den man dann auch

00:06:50: wirklich mit allem emotional und nicht kognitiven was man so mitbringt ausfüllen kann. Wenn du

00:06:57: mich jetzt fragst, wie ich deine Runden heilen kann, dann kann ich dir sagen, dass ich zumindest bei

00:07:07: Schülerinnen und Schülern noch versuchen kann und ich glaube, wir Lehrpersonen können uns fragen,

00:07:13: was finden wir tatsächlich das Spannende daran, was macht für uns immer noch mal den Horizont auf?

00:07:18: Ich glaube, dass wir mit Pythagoras dadurch, dass es so ein tradierter Inhalt ist, eigentlich eine

00:07:23: gut ausgebaute Straße haben, zu der es viel Material gibt, die man sicher befahren kann. Das

00:07:29: für uns aber auch die Fahrt mit unseren Schülerinnen und Schülern spannender wird, wenn man mal den

00:07:33: Blick in die Landschaft schweifen lässt, wenn wir aufblicken und schauen, okay, was gibt es für

00:07:37: neue Aspekte, die auch uns interessieren, denn ich glaube, wenn man selbst motiviert mit was

00:07:43: Spannendem in die Klasse geht, dass das abfärbt auf Schülerinnen und Schüler, dass man die mitziehen

00:07:48: kann und eine ganz spannende Sache, die auch für mich bei der Beschäftigung mit dem Heft ganz

00:07:56: neu war, war über die Pythagoräischen Triple, beispielsweise auf die Babylonische Formel zu

00:08:02: kommen. Das heißt, den Blick weg von den Flächen hin zu Seiten Längen zu nehmen, die dann auch

00:08:07: quadratisch ausgedrückt werden können, was wiederum aufs knautche Dreieck führt. Das können

00:08:14: wir uns, wir haben jetzt hier so ein auditives Format, aber wir können es visuell vorstellen. Wir

00:08:18: haben irgendein quadratisches Stück Papier, beispielsweise von so einem Notizklotz, so ein

00:08:23: Zettel und wir konstruieren uns jetzt ein Dreieck, dass die Basis unten die Grundseite dieses Plattes

00:08:30: hat und oben die Spitze wählen wir genauso, dass es auf der gegenüberliegenden Quadratseite in der

00:08:35: Mitte liegt. Dann hat dieses Dreieck ein ganz bestimmtes Seitenverhältnis und dieses Seitenverhältnis

00:08:41: ist für unser menschliches Auge so angenehm, dass es ästhetischen Aspekten entspricht und man

00:08:46: es so beispielsweise für die Architektur verwendet. Und sogar für sakrale Architektur im

00:08:52: Straßburger Münster finden wir ganze Seitenschiffe, die mit dem knautischen Dreieck sich beschreiben

00:08:57: lassen. Und das ist nochmal so, was man das in den Unterricht transportieren kann, indem man die

00:09:02: Schülerinnen und Schüler auch noch mal von der anderen Seite kennenlernt, denn jetzt transportieren

00:09:05: wir eigentlich ein mathematisches oder ein mathematischen Aspekt in die Kunst mit rein. Wir sind

00:09:11: in der Ästhetik, wir sind im kreativen Arbeiten drin und man ist ganz leicht von so einem Arbeitsauftrag,

00:09:17: wie finde das knautische Dreieck, beispielsweise im Straßburger Münster zu, naja konstruier doch

00:09:22: dein eigenes Münster. Schaffe selbst etwas, was dir gut gefällt, was die ästhetischen Aspekte,

00:09:27: die du selbst hast, widerspiegelt. Und denke, das könnte so ein Aspekt sein, den ich jetzt besonders

00:09:33: spannend fand, was so mein nächstes Landschaftsbild ist, dass ich mit meinen Pythagoras Unterricht

00:09:39: mit reinnehme. Gleichzeitig bin ich es immer sehr spannend, weil du eben auch gesagt hast,

00:09:45: das gemeinschaftliches Forschen, das ist auch was, was ich mir mit meinen Schülerinnen und

00:09:49: Schülern oft erlaube, mich da auf die Reise mit ihnen zu begeben und das ist beispielsweise in

00:09:53: Pythagoras auch in den Raum rein zu tragen. Wenn wir jetzt von dieser Gleichung starten A-Quartrag

00:09:58: plus B-Quartrag, gleich C-Quartrat, uns überhaupt mal zu fragen, was kann die eigentlich bedeuten.

00:10:03: Wenn wir von der Gleichung ausgehen und ich einfach mal variablen ersetze, beispielsweise durch

00:10:09: X-Quartrat plus Y-Quartrat, gleich R-Quartrat, dann glaube ich, sind jetzt ganz viele Kolleginnen und

00:10:14: Kollegen schon in einem anderen Objekt, zwar immer noch in einem Geometriken, aber ich bin

00:10:18: am Kreis. Meine Koordinaten X und Y geben mir jetzt den Mittelpunkt vor, der im Ursprung liegt und

00:10:25: ich lasse die jetzt laufen, immer mit der Bedingung, dass die Adition in einem Radius im Quadrat drin

00:10:30: liegt und wenn ich den jetzt in den Raum reinnehme, dann komme ich auf das Objekt eines Zylinders.

00:10:37: Ich habe in jeder Z-Ebene drin immer noch meine Reise mit dem festen Radius R,

00:10:44: die habe ich jetzt bräumlich gedacht. Ein Fall, den wir sonst beim funktionalen Zusammenhang häufig

00:10:49: vernachlässigen, nämlich den der funktionalen Unabhängigkeit und wenn ich jetzt auch anfange,

00:10:54: an meinem R-Quartrat zu spielen, beispielsweise nach X-Quartrat plus Y-Quartrat, gleich Z-Quartrat,

00:11:01: dann bekomme ich noch mal was anderes raus und ich glaube jetzt sind wir an einem Punkt, da ist es

00:11:05: schwer zu hören, es wäre sehr leicht einzusehen, nämlich in einem Doppelkegel drin und damit habe

00:11:12: ich den Pythagoras wieder in den Raum reingebracht. Es ist witzig, dass du es so sagst, Trigetestive

00:11:17: unterbreche, weil ich hatte gedacht, wenn wir es in den Raum übertragen, dann wären das quasi

00:11:22: Würfel, also der Volumeninhalt von einem großen Würfel wäre dann quasi so mit der kleinen Volumina.

00:11:28: Ist es das oder ist es Käse? Du, ne, das ist überhaupt kein Käse. Prinzipiell, wenn du auf

00:11:34: diese Art und Weise in den Raum gehen würdest, müsstest du an deinen Protenzen oben was ändern,

00:11:39: nämlich dann hättest du A hoch 3 plus B hoch 3, gleich C hoch 3 und so räumlich denken wir jetzt

00:11:45: sofort an so drei Würfel, die vielleicht auf so einem Dreiexpress mal drauf sitzen und spannender

00:11:50: Weise ist das direkt schon der Fall, wo Pythagoras oder eine ähnliche Sache eben nicht mehr funktioniert

00:11:56: und das führt auf eines der größten Probleme eigentlich der Zahlentheorie, für welche Potenzen

00:12:01: es A hoch N plus B hoch N, gleich C hoch N, eigentlich löstbar und damit sind wir beim Satz von Fermat,

00:12:09: der das ganze Problem mal aufgerissen hat und dann seit Jahrhunderten ist als ungelöstes Problem

00:12:15: in der Zahlentheorie galt bis into wilds ist 95 gelang dieses Problem mit Methoden, die Fermat

00:12:21: gar nicht zur Verfügung haben konnte, zu lösen. Wir sehen, das war ein Riesenszeitspannen, der

00:12:25: Mathematiker daran geforscht haben, das ist deshalb auch so eine spannende Sache auch nochmal aus

00:12:30: historischer Sicht, weil Fermat nämlich in seinem Hinterlassenschaften aufgeschrieben hat, er hätte

00:12:36: einen ganz wunderbaren Beweis dafür gefunden, der aber nie auf die Zeile passt und Mathematiker

00:12:42: haben Jahrhunderte daran geforscht und mittlerweile geht man davon aus, wo der into wilds hat

00:12:46: bewiesen, dass es eben keine Lösungen für Potenzen größer zwei gibt, das heißt der Satz

00:12:51: des Pythagoras ist ein absolutes Phänomen und Spezialfall hier. Aber wenn wir jetzt mal in der

00:12:56: Ebene bleiben und davon im A Quadrat plus B Quadrat gleich C Quadrat zur Pythagoras Figur gehen,

00:13:02: ich meine ich kann mir natürlich auch von der Pythagoras Figur, wie wir es jetzt im Kopf haben

00:13:07: oder hoffentlich in die Köpfe transportiert haben, die auch ploppt natürlich auch Fragen, wie sehen

00:13:12: denn Bruderchen und Schwestern dazu aus, wenn ich A Quadrat plus B Quadrat plus C Quadrat gleich

00:13:17: D Quadrat nehme, was ändert sich dann in einem Dreieck, so was. Also es gibt ganz ganz viele spannende

00:13:25: Aufträge, die man aus dieser Gleichung heraus entwickeln kann, wenn man einfach mal nach

00:13:30: Bedeutungen fragt. Und ja, das hört sich jetzt vielleicht theoretisch irgendwo an, weil uns die

00:13:36: Visualisierung fehlen, aber diese sind natürlich auch im Mathematikunterricht mittlerweile ganz

00:13:40: leicht mit dynamischer Geometrie-Software zu realisieren. Das kann man auch in den Händen von

00:13:45: Schülerinnen und Schülern gehen, die damit umgehen können. Und da kommen ganz spannende

00:13:48: Forschungsaufträge raus. Kann ich also meine eigenen Schulzeit ein bisschen bestätigen,

00:13:52: weil ein Kumpel von mir hat dann auch Mathematik studiert und jetzt mittlerweile promoviert,

00:13:55: der hat Mathematik gerechnet, wo die Lehrer gedacht haben, um Gottes Willen. Das ist ja Wahnsinn,

00:14:00: weil er daran Spaß und Freude hatte und immer noch hat. Mein Argument hier ist eigentlich nur,

00:14:05: dass ich Schülerinnen und Schülern sehr viel mehr Kompetenz zutraue in ihrem Spezialgebiet,

00:14:10: wenn sie wirklich für eine Sache brennen. Und ich glaube, dass das echt bereichern sein kann.

00:14:14: Zumindest war es das bei mir damals, weil unsere Lehrer das sehr gut aufgenommen hatten. Damals

00:14:19: in Physik, ha, ja, ich weiß, ich habe es ja schon gesagt, ich bin in Physik, aber ich möchte

00:14:23: dann der Aussage definitiv untermauern, dass man das auch in Schülerhände geben kann. Was mich

00:14:28: aber vor allen Dingen noch jetzt interessieren würde, welche schönen Beispiel hasten du aus

00:14:32: deinem Unterricht für jetzt konkret Pythagoras, wo du es eingeführt hast oder wo du es mitbekommen

00:14:38: hast von einem Kollegen, einer Kollegin, wo du dachtest, hey, das ist nett, das ist anders. Da

00:14:45: geht's herzauf oder die Augen werden groß? Vielleicht zwei von Kolleginnen und Kollegen und

00:14:50: dann eines von mir aus der Reihe heraus ist natürlich auch ein Schwerpunkt Beweise zum

00:14:56: Satz des Pythagoras. Hier hatten wir ja auch dokumentiert im Heft, dass wir einen Vorschlag von

00:15:01: der Kollegin hatten, diese Beweise tatsächlich auch in die Klasse zu geben und da den Schülerinnen

00:15:07: und Schülern Auswahlmöglichkeiten zu lassen, dass ich als Lehrperson verschiedene Beweise

00:15:12: vorbereitet habe, die, da stichwort Spül der Braut und so weiter, alle konstruktiv geometrisch

00:15:18: gelebt haben, denn wir haben eben gesagt, historisch gesehen sind die auch einfach die älteren und

00:15:21: die, die Pythagoras vielleicht sogar gedacht hat, da den Schülerinnen und Schülern durch die Auswahl

00:15:27: zu ermöglichen, eine eigene Entscheidung zu treffen, was interessiert mich eigentlich und was mich

00:15:31: interessiert, damit beschäftige ich mich nämlich gerne oder verstärkt. Letztendlich auch noch mal

00:15:36: zu reflektieren, warum habe ich den eigentlich ausgewählt? Was fand ich jetzt besonders spannend,

00:15:40: waren es ästhetische Aspekte, waren es beispielsweise, dass er mir leicht gefallen ist oder dass ich die

00:15:47: besondere Herausforderung gesucht habe, denn als ich auch das Bild geschaut habe, da wusste ich erst

00:15:51: mal gar nichts damit anzufangen und gleichzeitig dann aber auch diesen Schritt nochmal in die

00:15:56: Mathematik zurück zu machen, diese Beweise so aufzubereiten, das Thema, der sich nicht als

00:16:01: Spezialgruppe damit beschäftigt hat, den nochmal verstehen zu können, anhand meiner Argumentation.

00:16:06: Also das fand ich ein sehr, sehr genialen Schachzug, das nochmal so zu drehen und da Schülerinnen und

00:16:11: Schüler auch anzuleiten, sich nochmal von dieser Alltagsprache oder gerade was in den konstruktiv

00:16:16: geometrischen Beweisen drinsteckt, ja, das sieht man doch, nochmal zu lösen und das tatsächlich zu

00:16:21: beschreiben für Schülerinnen und Schüler, die das gerade nicht mal so einfach sehen. Das zweite war,

00:16:27: und deshalb habe ich eben mit der Einführung gefragt, nämlich am Ende der Lerneinheit zu Pythagoras,

00:16:32: wie kann ich denn als eigentlich eine Leistungsüberprüfung gestalten? Was waren die

00:16:37: zentralen Aspekte, die meine Schülerinnen und Schüler aus dieser Lerneinheit rausziehen

00:16:42: sollten? Und da sind wir ja, würde ich jetzt mal behaupten, Deutschland weitet sich nur über uns

00:16:47: im Saarland von diesen alternativen Leistungsnachweisen mittlerweile involviert, also Leistungsnachweise,

00:16:55: die jenseits von der Klassenarbeit liegen sollen und gerade auch andere Kompetenzen der Schülerinnen

00:16:59: und Schüler mit einbeziehen sollen. Und da hatte die Kollegin die Idee tatsächlich,

00:17:04: das beweisen können, stückweit zu überprüfen. Und das fand ich auch nochmal sehr, sehr spannend,

00:17:09: weil das auch eine Diskussion ist, die wir häufig im Collegium haben, ja, wie können wir denn jetzt

00:17:13: eigentlich diese, ja, ich will es nicht Soft Skills nennen, aber wie kann ich denn eigentlich diese

00:17:17: Dinge überprüfen, was für Aufgabentypen für Formate sind jetzt geeignet? Und ja,

00:17:23: sie hatte den Satz über die Höhenrechtecke gewählt, als Erweiterung des Kathetensatzes,

00:17:29: denn wenn ich in einem Dreieck bin, und jetzt darf es beliebig sein, wenn ich da die Höhen

00:17:34: verlängere und mir dann Katheten und Hypotenusenquartrat nochmal denke, dann teilen diese erweiterten

00:17:39: Höhen die Quartrate in Rechtecke, jetzt kommt das Schwande daran, die Rechtecke, die sich in der

00:17:45: Ecke berühren, also da aneinander liegen, die sind flächengleich. Und jetzt immer wieder an

00:17:52: so einem Punkt, hätten wir eine Visualisierung zur Hand, wäre das sofort klar, ja, die Bilder

00:17:56: sprechen da für sich, aber das zu hören ist ja schon noch mal eine Hausnummer und deshalb war

00:18:02: der erste Schritt auch für die Schülerinnen und Schüler, konstruiert das, ja, das war ein so

00:18:07: gestaffelter Leistungsnachweis, sodass auch Schülerinnen und Schüler, die schwächeren

00:18:11: Mathematik sind, hier sich einbringen konnten, diese Selbstwirksamkeit auch in der Leistungsüberprüfung

00:18:16: spüren können. Und mit dem Handwerkszeug, das wir von Pythagoras hatten, von den Beweisen ist

00:18:21: auch dieser Satz zu beweisen. Und die Kollegin berichtete aus ihrem Unterricht heraus, dass

00:18:26: Schülerinnen und Schüler das schafften und sie auch bei den Schwächeren feststellte, dass die sich

00:18:31: damit Herzblut reingegangen haben, so weit gegangen sind, wie sie irgendwie konnten. Und ich

00:18:35: finde, das ist auch etwas sehr, sehr Schönes für eine Leistungsüberprüfung, die Pythagoras da

00:18:39: ermöglicht. Absolut. Ich weiß gar nicht, auf welchen von deinen Aussagen oder welche von deinen

00:18:44: Aussagen ich am ersten reagieren darf, weil du hattest gesagt, jetzt reden wir über eine Sache,

00:18:50: die man eigentlich sieht. Dabei ist mir aufgefallen, dass ich die ganze Zeit versucht habe, mein Kopfkino

00:18:55: anzuschalten und mir ein blödes weißes Blatt Papier vorgestellt habe, wo ich dann quasi mir

00:18:59: bleibst du was raufmahle und das dann quasi verlängere und dann so. Es war nur ein bisschen schnell

00:19:04: für mich gerade. Aber hey, man kann sich die Folge nochmal anhören. Dann ist mir aufgefallen,

00:19:08: diese Fähigkeit, das Visualisieren, das haben wir in der Chemie und Physik ebenfalls. Definitiv,

00:19:14: weil wie stellt man sich denn meinetwegen eine elektrische Bindung vor? Elektronische

00:19:19: Triligung. Ich weiß, mein Chemie-Lehrer damals, der hat immer so eine Art Show abgezogen und hat

00:19:25: dann und dann kommt dieses Wasserstoff und dann das Sauerstoff und dann hat er mit den Händen

00:19:31: ganz viel gestikuliert und dabei auch lauthalts voller Leidenschaft, die Dinge halt veranschaulicht,

00:19:37: die eigentlich ja nicht existent sind. Also das ist ja nur eine Metapher für irgendwas. Gleichzeitig

00:19:43: hat das wiederum mein Kopfkino angeregt und ich konnte es mir irgendwie bildlich vorstellen. Klar,

00:19:48: Fehlkonzepte und so weiter, aber da kann man sich jetzt drüber streiten, noch ein Löcher. Inwiefern

00:19:52: man denn Fehlkonzept.de bilden muss, wenn man versucht, eine sprachliche Form zu wählen? Der Punkt

00:19:57: hier, den ich machen wollte ist, warum nicht einfach vorstellen von dem, was du so wunderbar

00:20:02: dargestellt hast? Vielleicht auf halber Geschwindigkeit. Gleichzeitig ist das natürlich auch eine

00:20:07: Einladung, so verstehe ich dich jetzt an die Lehrenden und Lehrer, dass man die Schüler zu

00:20:13: aufwundert oder ermutigt, sich das auch vorzustellen und visualisieren zu können,

00:20:19: bevor sie das dann eh hinmalen. Ich weiß nicht, wie das sonst funktioniert in Mathe. Also es ist auf

00:20:24: jeden Fall ein Ziel und das mathematische Kopfkino schön und gut, aber ich glaube, wir kommen nur

00:20:32: über gegebene nachvollzogene Visualisierungen dahin. Ich kann mir nichts vorstellen, was für mich

00:20:38: völlig neu ist. Und ich habe natürlich bewusst diesen Satz über die Höhenrechtecke gewählt,

00:20:44: weil er eben nicht so tradiert und gängig ist. Aber wahrscheinlich viele, genauso wie ich da,

00:20:49: dann hangen, als die Kollegen mir das vorstellen. Ich dachte, Moment mal, das habe ich noch nie

00:20:52: gehört. Also was, was, was ist das da? Und ich meine, natürlich möchte man auch genauso was

00:20:57: provozieren, weil sonst wäre ja auch die Visualisierung keine Leistung, die im Sinne einer

00:21:03: Abrufung einer Leistungsbewertung zu erbringen wäre. Aber wir können unsere Schülerinnen und

00:21:08: Schüler dazu anregen und gerade bei den Visualisierungen finde ich es auch immer eine spannende

00:21:12: Fragestellung, wie man das häufig macht mit Lernden. Irgendwann fragen die auch da nach,

00:21:17: ich kann nicht mehr das da denn eigentlich vorstellen. Das ist immer der Moment, wo man,

00:21:21: glaube ich, als Lehrperson denkt so, ja, genau da will ich eigentlich hin, jemand, der mitdenkt,

00:21:27: der sagt, okay, hier bin ich jetzt gerade an der Grenze, hier brauche ich jetzt Hilfe. Und man sagt,

00:21:31: okay, das könnte eine Visualisierung sein. Und es war gerade ganz spannend, was du über Physik

00:21:35: und Chemie gesagt hast, dass man manchmal auch an Grenzen ist, wo wir es uns nicht mehr vorstellen

00:21:40: können. Ja, in der Mathematik geraten ja bei allem ab R3 Aufwärts, Prinzip in dieser Falle irgendwo

00:21:48: rein, wo wir über Analogieschlüsse nur noch sprechen können. Und das sind natürlich auch ganz

00:21:54: wichtige Momente, dass man einseht, okay, unsere menschliche Vorstellungswelt hat auch irgendwo

00:21:58: Grenzen, unsere Visualisierung haben Grenzen. Wir haben natürlich Visualisierung, die von unseren

00:22:05: Vorstellungen von der Lehrperson kommen, die wir externalisieren über Darstellung konstruktiv

00:22:10: geometrisch oder andere Sprachformen, die ich wähle, die unsere Schülerinnen und Schüler dann wieder

00:22:15: internalisieren dadurch, dass sie sie zu ihren eigenen Vorstellungen machen. Und die können

00:22:19: sie dann natürlich wieder nutzen für ihre eigenen Darstellungen. Da geht dann der Weg irgendwo

00:22:24: hin weiter. Aber ich denke, wenn man das jetzt als Hörerin oder Hörer auch spürt, dann sagt, ja,

00:22:29: ich würde auch mal gerade ein Stift irgendwie brauchen und ein Platt Papier. Das haben unsere

00:22:32: Schülerinnen und Schüler auch im Unterricht. Und da sollte man sie unterstützen. Also auch ein Appell

00:22:36: für uns, diese konstruktiv geometrisch darstellung, gerade beim Pythagoras, gerade bei diesen Satzgruppen

00:22:43: auch zu verwenden. Würde sie sagen, genau das ist dann auch der größte Fehler, den man machen kann,

00:22:47: dass man das den Schülern verwährt oder gibt es noch andere Falsch-Tricke oder Fehler, die man

00:22:54: machen kann als Lehrkraft. Ich glaube, das unterrichtliche Geschehen, das was ich in den 45 Minuten abspielt,

00:23:01: unglaublich komplex ist. Und ich glaube, dass Lehrkräfte nach bestem Wissen und Gewissen für

00:23:07: ihre Lerngruppen Entscheidungen treffen und mit diesem konstruktiv zusammenarbeiten. Aber natürlich

00:23:14: sind Dinge, die man einseitig betrachtet, immer irgendwo beschränkt. Und wenn wir die unterschiedlichen

00:23:20: Sprachformen von Mathematik haben, die konstruktiv geometrischen, die formale Algebraiche und die

00:23:24: verbalbegriffliche und mit allen symbolischen Gehalt, also Regelhaftigkeit ausdrücken können,

00:23:30: dann sollten wir sie auch alle anbieten. Denn da sind wir wieder beim Satz von vorhin. Menschen denken

00:23:35: Mathematik unterschiedlich. Warum soll ich meinen Schülerinnen und Schülern diese

00:23:39: Unterschiedlichkeit verwähren? Ich kann sie ihnen ja geben. Daher glaube ich schon, dass wir da den

00:23:44: Unterricht sehr, sehr reichhaltig machen können. Das nächste, was ich dich jetzt gleich fragen möchte,

00:23:49: ist eine fiese Frage. Und ich entschuldige mich schon in vorne rein dafür. Was würdest du denn der

00:23:54: Hörerin oder dem Hörer jetzt mitgeben wollen als Appell, als Rat, wenn es nur eine Sache gäbe? Und

00:24:00: das ist jetzt der gemeine Punkt dabei. Was liegt dir besonders am Herzen? Ja, du kannst die Frage so

00:24:05: fies stellen, aber wie reichhaltig ich jetzt Antworten? Mir oder der Stockfunktion der Aufnahme

00:24:11: überlassen? Es ist glaube ich was, was über Pythagoras auch hinausgeht. Aber das, was wir

00:24:16: jetzt exemplarisch immer wieder an Pythagoras festgemacht haben, das ist, wir spielen eine Rolle

00:24:21: für unseren Unterricht. Und das, was wir mit hineinnehmen, das geben wir auch in unsere Schüler

00:24:26: weiter. Und wir dürfen uns die Freiheit nehmen, immer wieder vom Weg aufzuschauen. Das, was wir

00:24:32: für spannende Aspekte halten aus der Landschaft, dürfen wir auf die gut ausgebaute Straße des

00:24:37: Lehrplans, egal was für Inhalte der da jetzt gerade hat, mit reinnehmen. Und es wird unseren

00:24:43: Unterricht bereichern. Wenn es konkret an Pythagoras noch mal sein soll, was ich auch bei der

00:24:47: Beschäftigung für das Heft noch mal für mich entdeckt habe, dann sind es gerade diese ästhetischen

00:24:53: Momente nochmal, die ich sehr, sehr spannend finde für den Unterricht. Dann ist es dieses

00:24:58: gemeinsam argumentieren und begründen, egal auf welcher Klassenschufe das stattfindet. Und

00:25:06: vielleicht noch, das war auch eben der Punkt, den ich gerne noch von mir genannt hätte,

00:25:10: war, diese historischen Aspekte mit reinzunehmen. Denn auch dazu kann ich die Kolleginnen und

00:25:15: Kollegen nur ermutigen, auch historisches im Mathematikunterricht zu machen. Und mit Pythagoras

00:25:20: haben wir da allein, was die Darstellungen anbelangt, genug Anlass zu. Aber natürlich auch in der Frage,

00:25:26: was wissen wir eigentlich über Pythagoras und was für einen Beitrag eher zu seinem Satz,

00:25:31: wie er heute gelebelt ist, eigentlich geleistet hat. Und das sind auch sehr schöne bereichernde

00:25:35: Aspekte, in denen man die Schülerinnen und Schüler durch den Bezug zu den Gesellschaftswissenschaften

00:25:40: auch nochmal neu kennenlernen kann. Puh, elegant geantwortet auch so eine fiese Frage. Ich danke

00:25:47: dir, ich danke dir wirklich sehr für deinen wertvollen Input und diesen Appell, das inneren

00:25:52: Feuers der Lehrkraft wieder zu betonen. Zieh gerade so diese Folge zu einem Ende zu ziehen, weil ich

00:25:59: finde, da ist noch so viel mehr drin über, was man sich unterhalten könnte. Und mir bleibt jetzt

00:26:03: eigentlich nur die etwas billige Ausrede hier zu sagen, findet doch mehr auch in der Online-Ausgabe

00:26:10: vom Friedrich-Plus-Mathematik-Genehmvoll hier. Da ist es alles mit drin und da verweise ich ganz

00:26:14: liebevoll drauf, weil es lohnt sich echt, definitiv. Vielleicht ergibt es sich in Zukunft noch mal,

00:26:19: dass wir uns über dieses oder weitere Themen des Mathematik-Unterrichts unterhalten dürfen.

00:26:24: Ich würde mich wirklich sehr freuen und danke dir sehr für deinen Input. Ja, vielen Dank und

00:26:28: danke für die Chance hier nochmal, einen klassischen Inhalt der Mathematik und der neuen Aspekte

00:26:33: ins Neulicht zurück. Das war "Einfach unterrichten", der Podcast von Friedrich-Plus aus dem Friedrich-Verlag.

00:26:44: Wir bringen innovativen Unterricht für Lehrkräfte auf den Punkt.