Mathematik: Ran an Zirkel & Lineal

00:00:00: Einfach unterrichten. Der Podcast von Friedrich Plus aus dem Friedrich-Verlag. Wir bringen

00:00:09: innovativen Unterricht für Lehrkräfte auf den Punkt.

00:00:13: Hallo und moin moin, mein Name ist Tim Kanterreit und ich freue mich sehr, dass ihr heute wieder

00:00:21: dabei seid. In unserer heutigen Folge des Podcasts "Einfach unterrichten" sprechen wir über das Thema

00:00:27: geometrisch konstruieren. Zu Gast ist heute Verena Rembowski. Sie ist seit 2017 Lehrerin für

00:00:34: Mathematik und Englisch an der IGS in Göttingen und sie hat vor ihrem Referendariat promoviert

00:00:41: im Bereich Mathematik-Didaktik und hat jetzt mit ihrem Doktorvater Anselm Lambert eine Publikation

00:00:48: herausgebracht zu diesem Thema, über das wir heute sprechen wollen. Herzlich willkommen, Verena.

00:00:53: Ja, hallo Tim, schön, dass ich heute dabei sein darf. Danke für die Einladung. Wir werden auch

00:00:58: heute wieder in der Folge über fünf Thesen sprechen. Ihr habt ja schon das Wichtigste gehört. Du

00:01:03: bist Lehrerin für Mathematik und Englisch und was vor allen Dingen auch im Vorgespräch mit dir

00:01:08: schon rauskam, ist, dass du ganze Erfahrungen auch an Mathematik in inklusiven Kontexten hast.

00:01:12: Ganz genau. Also ich unterrichte ja an der IGS, das heißt ich unterrichte Schüler und Schülerinnen

00:01:19: in einer Klasse, die ganz unterschiedlichen Hintergrund haben und auch ganz unterschiedliche

00:01:25: schulische Abschlüsse erreichen werden und finde es einfach super spannend, was man da alles machen

00:01:32: kann, also wie man differenzieren kann und finde, die Geometrie bietet sich da auch ganz besonders an.

00:01:37: Also gerade dadurch, dass wir ja das Anschauungsmaterial haben und an Objekten ganz viel haptisch

00:01:45: machen können, ist natürlich auch der Differenzierung ganz doll zugute kommt. Genau. Wenn du schon mal

00:01:50: aufs Thema kommst, würde ich sagen, ich fange gleich mit der ersten These an. Geometrie kann

00:01:55: Selbstständigkeit und Teamarbeit besonders gut fördern. Jetzt frage ich mich, ich bin ja auch

00:02:00: Mathe-Lehrkraft. Geometrie, wie kann das Thema Möglichkeiten für selbstständiges Arbeiten

00:02:07: bieten, im Vergleich jetzt zum Beispiel zu anderen mathematischen Disziplinen? Gut, also ich finde

00:02:14: besonders gut fördern, natürlich haben auch viele andere Themen oder Themen die Möglichkeit

00:02:21: Selbstständigkeit und Teamarbeit zu fördern. Aber nichtsdestotrotz, die Geometrie kann

00:02:26: Selbstständigkeit und Teamarbeit ganz sicher auf alle Fälle gut fördern und ich habe es ja

00:02:32: gerade schon angesprochen. Ein Vorteil ist ganz sicher, dass wir in unserem Anschauungsraum in

00:02:37: der Welt um uns herum ganz viele Dinge finden, die wir Geometrie lesen können und anhand derer

00:02:46: wir Geometrie betreiben können und darüber können die Schüler und Schülerinnen miteinander

00:02:54: sprechen und so in ein geometrisches Aushandeln kommen. Also mich würde ja vor allen Dingen

00:03:01: interessieren, welche Aufgabenstellung es da zum Beispiel in der Geometrie gibt, die du benutzt

00:03:06: oder die auch in der Publikation vielleicht angesprochen werden, um Teamarbeit zu fördern.

00:03:12: Ja, da gibt es natürlich zum einen die Möglichkeit, das kann man auch in der Publikation gut sehen,

00:03:19: aus einem Papier, das irgendwie krumm ist, einen Quadrat zu falten. Hier können die Schüler eben

00:03:28: gut verschiedene Dinge ausprobieren und dann aushandeln, wie komme ich jetzt wirklich zu

00:03:33: einem Quadrat oder wie komme ich wirklich zu einem rechten Winkel? Oder ein anderes Beispiel finde

00:03:42: ich so ein typisches Beispiel ist das Umkleidekabinenbeispiel. Also die Frage, wie kann man sich gut

00:03:50: von hinten sehen in der Umkleidekabine? Das ist eine Sache, die man auch mit Legofiguren und

00:03:57: Spiegeln nachstellen kann und dann eben ins Zweidimensionale runterbrechen kann. Auch alles

00:04:04: mögliche an Körpern, also sei es jetzt eine Darstellung oder auch das Rechnen an zusammengesetzten

00:04:12: Körpern, entweder selber gefunden Körper oder welche, die man aus der Umgebung oder die man in

00:04:18: der Umgebung findet. Mich erinnert das an die Erkundungsaufgaben, so sind wo man was erkunden

00:04:23: kann und wo man dann gemeinsam mit jemand anderem Dinge herausfinden kann und dass man das eben

00:04:29: halt mit einem Partner oder mit einer kleinen Gruppe zusammen macht. Schnell, kann ich mir das so vorstellen?

00:04:33: Ja genau und also der Vorteil ist ja einfach, man hat etwas, das man sieht, über das man spricht. Also

00:04:39: man kann einfach ganz verbal begrifflich da dran gehen, konstruktiv geometrisch. Man muss nicht

00:04:44: direkt rechnen und kann sich so gut austauschen, um gemeinsam zu zielen kommen oder verschiedene

00:04:51: Wege ausprobieren. Das würde mich interessieren, wie kann man denn als Lehrkraft sich so einen Raum

00:04:56: schaffen, also oder Freiheit schaffen, dass Schüler*innen im Unterricht tatsächlich auch mal eigene

00:05:03: Lösungswege in der Geometrie entwickeln können? Ich finde, dass die Basis da einfach ist,

00:05:09: ganz offene Aufgaben oder Aufträge zu stellen und die erstmal mit den Schülern und Schüler*innen

00:05:18: an zu diskutieren. Also wirklich die Möglichkeit zu geben, dass die Schülern und Schüler*innen

00:05:24: noch ihre eigenen Ideen reinbringen, ihre eigenen Impulse irgendwie diskutieren und da also so

00:05:32: eine Atmosphäre schaffen, die einfach Offenheit erlaubt, dass klar ist. Wir probieren uns hier

00:05:37: aus und ganz vieles kann richtig sein und ganz vieles ist erlaubt. Heißt im Prinzip ja so ein

00:05:46: bisschen, dass es ja eher am Anfang einer Unterrichtseinheit anzusiedeln oder kann man das auch

00:05:53: am Ende machen oder mittendrin? Das kann man, würde ich sagen, an jeder möglichen Stelle in

00:05:59: der Unterrichtseinheit ansiedeln. Also das, was ich jetzt gesagt habe, das hat sich so angehört,

00:06:04: als ob es am Anfang der Unterrichtseinheit anzusiedeln ist, aber in der Publikation gibt es

00:06:07: ja beispielsweise auch andere Beiträge, wo es um die Standardkonstruktion geht, was ja schon viel

00:06:14: spezifischer ist, wo man aber auch sich gut selber ausprobieren kann, auch eventuell von Teamarbeit

00:06:20: profitieren kann, was aber ja dann viel geleiteter ist und eben an genau dieser Stelle im Unterricht

00:06:26: stattfindet. Das finde ich ja ganz schön, dass wir mit dieser These gleich am Anfang gestartet sind,

00:06:33: weil Teamarbeit erfordert ja auch Kommunikation, Kommunikationsförderung. Da haben wir gerade

00:06:39: im letzten Podcast, was von drüber gehört, im Rahmen von Quarmat. Ich weiß jetzt nicht,

00:06:44: ob dir Quarmat schon was sagt oder ob du da auch selber irgendwie dich ausbilden lässt,

00:06:50: wäre auch nicht so dramatisch, wenn das nicht so ist. Das ist ja ein Qualitätskriterium,

00:06:55: dass wir über unsere Arbeit oder das Lernen kommunizieren und dass eben in Mathematik

00:07:00: auch besonders förderlich ist. Darauf wollte ich jetzt aber gar nicht hinaus, sondern ich wollte

00:07:05: eigentlich darauf hinaus auf die zweite These, die Formule ich jetzt ein bisschen provokanter sage

00:07:12: jetzt mal. Geometrisches Konstruieren ist doch nur Zeichne, Bezirkel und Linial. Ja, also wäre ja

00:07:21: ganz schön langweilig, wenn das so wäre und es kommt den Schülern und Schülerinnen ja auch

00:07:27: wirklich zugute, wenn wir da einfach viel Frühjahr ansetzen, nämlich zum Beispiel beim Papier

00:07:30: Falten. Ich habe ja schon einen Beitrag angesprochen, wo es darum geht, Quadrate zu

00:07:36: falten aus irgendwie einem krummen Glückpapier. Und das ist ja was, wo die Schüler sich auch

00:07:42: wirklich viel besser ausprobieren können. Es wird, es kann zum Beispiel formuliert werden,

00:07:47: mit welcher Handlungsvorschrift so ein Quadrat erzeugt wird. Es kann der Unterschied zwischen

00:07:52: Quadrat und Raute deutlich werden und Herstellungs- und Verwirklichungsprozesse eben ausprobiert werden.

00:07:59: Oder man kann natürlich auch schon stärker Richtung beweisen oder Aussagen ausprobieren, sage ich

00:08:07: jetzt mal gehen, wenn man zum Beispiel schaut, liegt gegenüber dem größeren Winkel wirklich immer die

00:08:13: größere Seite. Man kann an drei Ecken ausprobieren, die drei Ecke vielleicht ein bisschen abändern

00:08:18: und dann Faltungen vornehmen und letztlich operativ beweisen. Solche operativen Beweise stützen

00:08:29: sich dann auf Darstellungen von Objekten oder Operationen daran. Genau, wir können also drei

00:08:36: Ecke Falten schneiden, Seitenlängen, Winkel vergleichen und auch ja an anderen Beispielen,

00:08:42: die wir jetzt nicht in der Publikation ansprechen, kann man das ja sehr gut nutzen.

00:08:47: Digitale Werkzeuge können die da auch irgendwie beitragen. Also denken wir mal an Geogebra zum

00:08:52: Beispiel. Wir können natürlich alles, was wir falten, am Ende auch in Geogebra irgendwie ausprobieren

00:09:00: oder nachspielen. Dadurch können dann diese vielleicht operativen Beweise nochmal eine andere

00:09:08: Beweisskraft bekommen oder wir können sie nochmal auf eine andere Art nachbeweisen, sage ich mal.

00:09:14: Also alles, was wir dann intuitiv und an Papier machen, können wir auf eine andere Art nochmal

00:09:21: in Geogebra durchführen. Aber es geht natürlich gerade darum, dass wir nicht nur an Geogebra arbeiten,

00:09:27: weil gerade dieses haptische ja vielen Schülern auch so gute kommt und wir haben ja gerade in

00:09:33: der Geometrie den Vorteil, dass wir auch gut haptisch handeln können. Ich komme mal zur dritten

00:09:38: These, weil sie gerade so gut auch vor allen Dingen zum haptischen Handeln passt. Falten,

00:09:44: bauen, messen. Haptisches Handeln trägt besonders zur Begriffsbildung bei. Kannst du da vielleicht mal

00:09:50: so Beispiele geben, auch aus der Publikation vielleicht, was so haptische Erfahrungen und wie

00:09:57: haptische Erfahrungen das Verständnis von geometrischen Konzepten verbessern können.

00:10:01: Also hier können wir natürlich auf der affektiven Ebene erstmal ansetzen. Also einfach daran,

00:10:06: dass die Schüler viel lieber etwas Praktisches machen und wenn sie das viel lieber machen,

00:10:11: dann trägt das natürlich auch irgendwie zum Lernen und entsprechend auch zur Begriffsbildung bei.

00:10:15: Und hier haben wir natürlich wieder mal den Vorteil, dass wir Geometrie in der Welt um uns

00:10:22: herum eigentlich fast überall haben und viele Geometrieren

00:10:27: Themen sich dann mit selbst gebastelten Material auch in den Händen sehr, sehr gut erfahren lassen.

00:10:33: Hier können wir einmal Modelle nutzen, die wir ohnehin um uns herumfinden. Wir können sie aber

00:10:39: auch eben dann passend zu dem Inhalt, den wir unterrichten wollen, irgendwie optimieren. Das heißt,

00:10:47: wir können sie speziell herstellen oder auch erste Abstraktionen einzeichnen. Wir können die Idee

00:10:55: der Konkurrenz als Stabilität nutzen und beispielsweise eben herausfinden, dass eine

00:11:01: Gelenkfigur aus 3-Graden-Stücken nicht gelenkig ist. Dazu könnten wir beispielsweise zunächst

00:11:07: beliebige Vier-Ecke herstellen lassen, dann besondere Vier-Ecke entdecken und diese dann

00:11:13: eben durch Diagonalen stabilisieren. Und das Ganze können wir so weit führen, dass wir eben zum

00:11:19: Schluss auch ein Regal selber bauen könnten, also ein Regal zur Selbstmontage und das eben dann

00:11:25: durch den Stützkreuz stabilisieren. Und schließlich finden wir heraus, dass Stabilität

00:11:33: eben eine peste Dreiecks-Eigenschaft ist und können 3-Ecke auch nach den Konkurrents setzen,

00:11:40: diesen Vorgaben herstellen. Das klingt auf jeden Fall sehr einleuchtend. Würde jetzt noch mal ganz

00:11:45: kurz darauf hingehen, weil das haptisches Handeln, das hat ja auch etwas damit zu tun, dass die

00:11:54: Schüler inaktiv sind. Genau. Und jetzt nochmal auch zur Begriffsbildung. Also wie kann das haptische

00:12:02: Handeln tatsächlich zur Begriffsbildung beitragen? Zum einen haben die Schüler ja dann selber was

00:12:10: ausprobiert, wie jetzt an dem Beispiel mit den Vier-Ecken oder den Dreiecken. Also sie hatten

00:12:15: dann eben so ein Gelenk Vier-Eck mal in der Hand und haben damit ausprobiert, haben vielleicht am

00:12:20: Anfang auch gesehen, okay aus diesen vier Stücken kann ich gar kein Vier-Eck bauen. Haben dann ein

00:12:26: Vier-Eck aus verschiedenen speziellen Stücken gehabt und gesehen, okay das ist ein spezielles

00:12:33: Vier-Eck-Versuch, das irgendwie rumzuschieben. Da steckt ja dann einfach eine besondere

00:12:37: Erfahrung noch mal drin, die ganz besonders auch zum Lernzuwachs beiträgt. Das heißt also das ist

00:12:44: so ein bisschen so ein Concept Formation oder so wie man das vielleicht nennt. Also die Schüler*innen

00:12:48: entdecken etwas Eigenschaften, zum Beispiel jetzt von Vier-Ecken, indem sie also haptisch das

00:12:57: legen und dann vergleichen mit den Seitenlängen, wie passt das zueinander und dann eben ja können

00:13:03: eben die Begriffe wie Quadrat-Rechteck und so weiter gebildet werden darüber. Genau und dadurch,

00:13:09: dass sie das selber in der Hand haben, sich vielleicht eine Frage stellen, da noch mal

00:13:12: ausprobieren kann es so aha Momente geben, dass man sieht okay ist ich will das jetzt irgendwie

00:13:20: verändern und will da irgendwie eine spezielle Figur raus bekommen aber kriegt die nicht raus,

00:13:26: die ich eigentlich haben möchte oder es funktioniert nicht so wie ich das denke oder es

00:13:30: funktioniert doch genauso. Und das andere ist natürlich, dass wir haptisch auch gut im

00:13:37: dreidimensionalen handeln können. Also während viel Unterricht sich ja doch auf dem zweidimensionalen,

00:13:43: im zweidimensionalen Abspiel auf der Tafel im Heft oder auf irgendwelchen Bildschirmen können wir

00:13:50: haptisch aber ja auch an Körpern handeln und hier haben wir alle längen Maßstabs gerecht,

00:13:57: was dann im zweidimensional nicht mehr möglich ist. Wir können Körper falten oder auffalten,

00:14:04: also entfalten und Netze anschauen und dann auch wieder zusammenfalten und genau können die von

00:14:14: verschiedenen Seiten anschauen, vermessen, bevor wir sie vielleicht dann in die Ebene bringen. Wir

00:14:20: können aber ja auch tatsächlich jetzt wieder mit den digitalen Möglichkeiten Körper erfinden

00:14:27: und drucken, dann ausmessen. Das heißt wir können haptisch ja auch wirklich ganz lange im

00:14:35: dreidimensionalen bleiben, bevor wir dann in die Ebene reingehen. Genau und da würde sich perfekt

00:14:42: die vierte These anschließen, zweidimensionale Konstruktion reichen nicht und mit der Fragestellung

00:14:49: gleich ich hier anknüpfen möchte. Wie verändert sich denn das räumliche Vorstellungsvermögen von

00:14:54: Schüler*innen, zum Beispiel das Arbeiten mit 3D-Modellen? Naja das Arbeiten mit 3D-Modellen

00:14:59: fördert natürlich ganz extrem das räumliche Vorstellungsvermögen, denn es ist ja schon so,

00:15:06: dass man erst Darstellungen lesen lernen muss. Das ist ja gar nicht so selbstverständlich,

00:15:11: also zu wissen, was bedeuten die Hilfslinien, wo ist hier was verkürzt und wo nicht und

00:15:19: erst anhand der Arbeit wirklich mit diesen 3D-Modellen können die Schüler das ja lesen lernen.

00:15:27: Ich stelle mir jetzt einfach mal irgendwie eine Pyramide vor, wo wir ganz viele rechte Winkel

00:15:35: drin haben, die wir in der Darstellung einfach nicht mehr sehen und dazu erkennen, wo ist ein

00:15:45: rechter Winkel, was ist wie verzehrt, dafür brauche ich ja einfach wirklich das Modell.

00:15:52: Damit können wir zur fünften These. Geometrie geht auch ohne Rechnen. Ich frage mich jetzt natürlich

00:15:57: über Geometrie, ist ja auch eigentlich nur Zeichnen, wo taucht denn da überhaupt Rechnen auf?

00:16:01: Naja gut, also leider wird ja im Schulunterricht ganz, ganz viel gerechnet. Das heißt diese

00:16:07: Formalalgebraschenargumentationen, die überwiegen ja tatsächlich ab dem 7./8. Jahrgang leider sehr

00:16:16: oft und es wäre bei Begriffliche und das konstruktiv geometrische Argumentieren kommen leider teilweise

00:16:22: relativ kurz, obwohl die ja in der Mathematik eigentlich eine viel längere Geschichte haben.

00:16:30: Zu den Bestimmungsstücken, die wir im Schulunterricht häufig tatsächlich Formalalgebraschen,

00:16:37: also Berechnen, aber ja auch verbalbegrifflich oder konstruktiv geometrisch ermitteln können.

00:16:43: Genau und da wurde ich gerade anschließen, weil das ging ja mir so ein bisschen darum,

00:16:47: dass man ja jetzt eigentlich tatsächlich der effektiv Mathematik unterrichten kann mit Geometrie,

00:16:55: weil wie du ja selber gesagt hast, so was wie Beweise und so weiter in den Rechnungen oft

00:17:03: schwierig sind, aber in Geometrie eben halt sehr schön dargestellt werden können, die Schüler

00:17:09: quasi fast intuitiv solche Beweise in der Geometrie führen können und das könnte man jetzt ja

00:17:17: auch überlegen, heißt ja eigentlich, dass wir eigentlich Geometrie tatsächlich viel mehr

00:17:21: machen sollten, weil wir eben halt zu einer der Kerntätigkeiten von Mathematikern oder der

00:17:29: Mathematik überhaupt nämlich den Beweisen zurückkommen. Naja, also ich finde, dass Geometrie

00:17:35: sehr wichtig ist und ich würde da trotzdem die Beweise nicht langsam in den Mittelpunkt stellen

00:17:40: wollen, weil es so viele schöne, so viel schönes geometrisches Arbeiten gibt, was einfach

00:17:46: gar nicht so richtig viel mitgeweisen zu tun hat oder so viele schöne Aufgaben und Aufträge,

00:17:56: Fetigkeiten, wo man nicht beweist. Also da ist einfach in im Argumentieren, in der Darstellung

00:18:06: oder es gibt richtig schöne Fehleraufgaben, die man machen kann. Man kann sich ausprobieren,

00:18:13: aber beispielsweise auch im Messen. Also wir haben einen Beitrag, wo es darum geht,

00:18:19: den Plan eines Schulhofs zu konstruieren, wo man ganz viel misst, die Daten irgendwie

00:18:25: sortiert und dann verschiedene Längen ermittelt. Wir können zwar auch ohne Rechnung beweisen,

00:18:38: das ist ein Vorteil an der Geometrie, aber wir müssen tatsächlich gar nicht in das Beweisen

00:18:44: gehen, um schöne Tätigkeiten ohne Rechnung ausführen zu können. Ich dachte jetzt an so

00:18:50: diese einfachen Dinge, wie dass man eben zeigt, dass ein Dreck im 180 Grad hat und so was.

00:18:56: Das ist das Erste, das ich auch gedacht habe, genau. Und ich meine, das vereint natürlich

00:19:01: auch ganz vieles. Also da haben wir Papier falten oder reißen. Wir können das einfach nur zeichnerisch

00:19:08: darstellen und dennoch ist Geometrie ja so viel mehr als eben ein Beweis. Ja, damit nähern wir

00:19:15: uns auch schon im Ende der heutigen Folge. Verena, du hast uns heute viel über das

00:19:20: Thema Geometrie, geometrische Konstruktion berichten können. Möchtest du zum Abschluss

00:19:26: noch etwas mit unserem Zuhörer*innen teilen? Wenn ihr in der Schule mit euren Schülern und Schüler*innen

00:19:34: euch mit der Geometrie beschäftigen dürft, dann nutzt die gesamte Reichhaltigkeit der Geometrie.

00:19:40: Also lasst die Schüler falten, lasst die Schüler an Modellen arbeiten, nutzt die Umwelt,

00:19:48: die der Schulhof, das Schulgelände euch bieten und nutzt Modelle, nutzt gerne auch die digitalen

00:19:55: Möglichkeiten, aber rechnet nicht die gesamte Zeit nur mit der Geometrie. Vielen Dank, Verena,

00:20:02: für deine motivierenden Worte. Und auch noch ein großes Dankeschön an alle, die heute zugehört

00:20:07: haben. Wir hoffen, dass ihr aus dem Gespräch nützlich in den Inspirationen für den eigenen

00:20:14: Unterricht mitnehmen konntet. Wenn ihr noch mal bestimmte Sachen nachlesen wollt, tut es,

00:20:19: das ist ja in der Publikation von Verena und Anzein Lambert. Alles auch noch mal mit Beispielen

00:20:27: wiedergeschrieben, in schriftlicher Form zum nachlesen. Dann tut es, aber bleibt auf jeden Fall

00:20:34: neugierig, machts gut, tschau tschau. Ja, dann tschüss. Das war einfach Unterrichten, der Podcast

00:20:46: von Friedrich Plus aus dem Friedrich Verlag. Wir bringen innovativen Unterricht für Lehrkräfte

00:20:53: auf den Punkt.